IB方法的时间离散格式

IB方法的时间离散格式主要有 Backward Euler 格式和 Crank-Nicolson 格式。

\[ \rho(\frac{\partial\textbf{u}}{\partial t}+\textbf{u}\cdot\nabla\textbf{u})+\nabla p-\mu\Delta\textbf{u}=\textbf{f}\\ \nabla\cdot{\textbf{u}}=0\\ \int_{B_{r}}\textbf{F}\cdot\textbf{V}d\textbf{X}=-\int_{B_{r}}\mathbb{P} :\nabla\textbf{V}d\textbf{X}\\ \textbf{f}(\textbf{x},t)=\int_{B_{r}}\textbf{F}(\textbf{X},t)\delta(x-\chi(\textbf{X},t))dx\\ \frac{\partial\chi(\textbf{X},t)}{\partial t}=\int_{\Omega}\textbf{u}(\textbf{x},t)\delta(\chi(\textbf{X},t)-\textbf{x})d\textbf{x} \]

Backward Euler格式

1. 利用\(\chi^{n}\)，更新\(\mathcal{J}(\chi^{n})\)和\(\mathcal{S}(\chi^{n})\)

2. 利用FEniCS求解\(\textbf{F}(\chi^{n})\)

3. 计算 \[ \textbf{f}^{n}=\mathcal{S}(\chi^{n})\textbf{F}(\chi^{n}) \]

4. 求解 N-S 方程，时间离散使用一阶格式 \[ \rho(\frac{\mathbf{u}^{n+1}-\mathbf{u}^{n}}{\Delta t}+\textbf{A}^{n+\frac{1}{2}})=-\nabla_{h}p^{n}+\mu\nabla^{2}_{h}\textbf{u}^{n+1}+\mathbf{f}^{n}\\ \nabla_{h}\cdot \mathbf{u}^{n+1}=0 \]

5. 更新\(\chi^{n+1}\) \[ \frac{\chi^{n+1}-\chi^{n}}{\Delta t}=\mathcal{J}(\chi^{n})\textbf{u}^{n+1} \]

Crank-Nicolson格式

1. 利用\(\chi^{n}\),更新\(\mathcal{J}(\chi^{n})\),\(\mathcal{S}(\chi^{n})\)

2. 更新位移\(\chi^{n+\frac{1}{2}}\)

\[ \frac{\chi^{n+\frac{1}{2}}-\chi^{n}}{\Delta t/2}=\mathcal{J}(\chi^{n})\textbf u^{n} \]

3. 同时更新插值算子和延拓算子 \(\mathcal{J}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\) 和 \(\mathcal{S}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\) ，以此保证插值算子和延拓算子是对偶的对偶性

4. 利用FEniCs求解\(\textbf{F}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\) \[ \int_{B_{r}}\textbf{F}^{n+\frac{1}{2}}\cdot\textbf{V}d\textbf{X}=-\int_{B_{r}}\mathbb{P}(\textbf{X}^{n+\frac{1}{2}}) :\nabla\textbf{V}d\textbf{X}\\ \]

5. 不需要更改，因为修改\(\mathcal{J}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\)后这里自动修改

\[ \textbf{f}^{n+\frac{1}{2}}=\mathcal{S}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\textbf{F}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\\ \]

6. 求解N-S方程

\[ \rho(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{\Delta t}+\textbf{A}^{n+\frac{1}{2}})=-\nabla_{h}p^{n+\frac{1}{2}}+\mu\nabla^{2}_{h}(\frac{\textbf{u}^{n+1}+\textbf{u}^{n}}{2})+\textbf{f}^{n+\frac{1}{2}}\\ \nabla_{h}u^{n+1}=0 \]

​ 其中\(\textbf{A}^{n+\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\textbf{u}^{n}\cdot\nabla_{h}\textbf{u}^{n}-\frac{1}{2}\textbf{u}^{n-1}\cdot\nabla_{h}\textbf{u}^{n-1}\)

7. 更新\(\chi^{n+1}\)

\[ \frac{\chi^{n+1}-\chi^{n}}{\Delta t}=\mathcal{J}(\chi^{n+\frac{1}{2}})(\frac{\textbf{u}^{n+1}+\textbf{u}^{n}}{2})\\ =\frac{1}{2}(\mathcal{J}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\textbf{u}^{n+1}+\mathcal{J}(\chi^{n+\frac{1}{2}})\textbf{u}^{n})\\ =\frac{1}{2}(\textbf{U}^{n+1}+\textbf{U}^{n}) \]